Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) - задача о подбрасывании игральных костей .

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач - использование формулы классической вероятности , который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Одна игральная кость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ - число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ - число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость , то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию "выпало не менее 5 очков", то есть "выпало или 5, или 6 очков" удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков . По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали - число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ):

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков - запишем туда сумму, про разность - запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней - 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию "в сумме выпадет менее 5 очков" исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в ).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ - сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи - снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию "на первой кости выпало не более 4 очков" - то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому , используя формулу условной вероятности . Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ - $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac{m(A)}{n}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}; \quad P(AB)=\frac{m(AB)}{n}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3};\\ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}. $$ Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз , а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать

Затем провел такой же эксперимент с тремя игральными костями. На листе бумаги я записал в столбик цифры от 3 до 18. Это суммы, которые могут выпадать при бросании трех игральных костей. Я сделал 400 бросков. Подсчитал получившийся результат и занес его в таблицу. (Приложение 3 и 4) Чаще выпадают суммы 10 и 11.

Я провел еще один эксперимент уже с четырьмя игральными костями. В столбике были записаны цифры от 4 до 24. Это суммы, которые могут выпадать при бросании четырех игральных костей. Я опять сделал 400 бросков. Подсчитал получившийся результат и занес его в таблицу. (Приложение 5 и 6) Чаще выпадает сумма 14.

Затем я решил сделать математические расчеты. Составил таблицу на две игральные кости, заполнил ее. (Приложение 7) У меня получился результат – чаще выпадает сумма семь. (Приложение 8). Шесть раз из тридцати шести случаев. Такие же математические расчеты я сделал сначала для трех игральных костей. (Приложение 9) Чаще выпадают суммы 10 и 11. Это по 27 случаев из 216. А реже всего выпадает - 3 и 18, всего по 1 случаю из 216. (Приложение 10) А затем для четырех игральных костей. (Приложение 11) Случаев всего 1296. Чаще всего выпадает сумма 14, это 146 случаев из 1296. А реже всего выпадает - 4 и 24, всего по 1 случаю из 1296. (Приложение 12)

Я нашел описание фокусов с игральными костями. Меня удивила простота и оригинальность некоторых фокусов. Принятый порядок расположения разметки на сторонах игральных костей лежит в основе многих фокусов с игральными костями. И я попробовал несколько фокусов проделать. У меня получилось. Но для успешного их проведения необходимо быстро и хорошо считать.

Фокус – это искусный трюк, основанный на обмане зрения при помощи ловких и быстрых приемов. От зрителей фокус всегда скрыт наполовину: они знают, что существует тайна, но представляют ее себе как нечто нереальное, непостижимое. Математические фокусы являются своеобразной демонстрацией математических закономерностей.

Успех каждого фокуса зависит от хорошей подготовки и тренировки, от легкости исполнения каждого номера, точного расчета, умелого владения приемами, необходимыми для проведения фокуса. Такие фокусы производят большое впечатление на зрителей и увлекают их.

Фокус 1. «Угадывание суммы»

Показывающий поворачивается спиной к зрителям, а в это время кто-нибудь из них бросает на стол три кости. Затем зрителя просят сложить три выпавших числа, взять любую кость и прибавить число на нижней грани к только что полученной сумме. Потом снова бросить эту же кость и выпавшее число опять прибавить к сумме. Показывающий обращает внимание зрителей на то, что ему никоем образом не может быть известно, какую из трех костей бросили дважды, затем собирает кости, встряхивает их в руке и тут же правильно называет конечную сумму.

Объяснение. Прежде чем собрать кости, показывающий складывает числа, обращенные к вверху. Добавив к полученной сумме, семерку, он находит конечную сумму.

Этот фокус опирается на свойство суммы чисел на противоположных гранях – она всегда равна семи.

Глава 2. Секрет игральных костей

2.1. Рассчитываем результат

Для того чтобы выяснить какая сумма выпадает чаще при бросании двух, трех, четырех и т. д. игральных костей я провел несколько экспериментов.

Перед началом работы составил таблицу для того, что бы вносить данные. В столбик записаны цифры от 2 до 12. Это суммы, которые могут выпадать при бросании двух игральных костей. На гладкую поверхность стола, чтобы не было посторонних помех, начал бросать кости. Каждую попытку отмечал напротив цифры выпавшей суммы – вертикальной черточкой.

Эксперимент 1:

1) Беру две игральные кости и стакан.

Эксперимент повторяю 400 раз.

Эксперимент помог выяснить какая, сумма выпадает чаще при бросании двух игральных костей. (Приложение 1 и 2)

Эксперимент 2 я провел с тремя игральными костями, для того чтобы выяснить, а какая сумма будет выпадать чаще теперь.

Эксперимент 2:

1) Беру три игральные кости и стакан.

2) Встряхиваю стакан с игральными костями.

3) Бросаю игральные кости на стол.

4) Подсчитываю сумму и отмечаю в таблице.

Эксперимент повторяю 400 раз.

Эксперимент помог выяснить какая, сумма выпадает чаще при бросании трех игральных костей. (Приложение 3 и 4)

Эксперимент помог мне убедиться в том, что при бросании трех игральных костей, выпавшая сумма иная, нежели, с двумя костями.

Эксперимент 3 я провел уже с четырьмя игральными костями, чтобы увидеть динамику изменений.

Перед началом работы опять составил таблицу для того, что бы вносить данные.

Эксперимент 3:

1) Беру четыре игральные кости и стакан.

2) Встряхиваю стакан с игральными костями.

3) Бросаю игральные кости на стол.

4) Подсчитываю сумму и отмечаю в таблице.

Эксперимент повторяю 400 раз.

Эксперимент помог мне убедиться в том, что при бросании четырех игральных костей, сумма, которая выпадает, опять другая. (Приложение 5 и 6)

Рассмотрев результаты экспериментов, мне стало понятно, почему чаще выпадают суммы находящиеся ближе к середине таблицы. Ведь сумма чисел на противоположных гранях всегда равна семи. Поэтому при бросании костей, больше вероятность, что выпадет сумма близкая к этой середине.

2.2. Сравниваем результаты

Сравнив результаты экспериментов с игральными костями (Приложения 1 - 6) и результаты математических расчетов (Приложения 7 - 12) я заметил, что чаще выпадает сумма, находящаяся ближе к середине. Поэтому я нашел среднее арифметическое суммы чисел на гранях игральной кости. (1+2+3+4+5+6) : 6 = 3,5. Получилось число 3,5. Затем я умножил это число на количество игральных костей. Если взять две игральные кости, то произведение 3,5 · 2 = 7. Число семь является тем числом, которое чаще выпадает при бросании двух игральных костей. Если взять три игральные кости, то получим 3,5 · 3 = 10,5. А так как число должно быть целым, то берутся два соседних числа. Это числа 10 и 11, они выпадают чаще при бросании трех игральных костей. Для любого количества игральных костей, рассчитать число, чаще выпадающее, можно по формуле 3,5 · n , (где n - число игральных костей). Причем, если n нечетное число, то берутся два соседних числа, для определения числа чаще выпадающего при бросании игральных костей.

Я рассмотрел библейский рисунок и нашел несоответствие. На двух игральных костях неправильно нанесены разметки. Так как сумма чисел на противоположных гранях должна быть равна семи. А на одной из игральных костей на верхней грани изображено - три, а на боковой - четыре, хотя четыре должно быть на нижней гране. На другой игральной кости, на верхней грани - пять, а на боковой - два. А возможно это потому, что в той местности была принята другая разметка на игральных костях.

Заключение

В своей работе я узнал секрет игральных костей. Этот секрет лежит на поверхности самих игральных костей. Секрет в расположении разметки. Сумма чисел на противоположных гранях всегда равна семи. С помощью экспериментов и математических расчетов я нашел сумму, которая выпадает чаще при бросании игральных костей, и которая зависит от числа игральных костей. Эту сумму можно записать в виде формулы 3,5 · n , где n число игральных костей. При изучении этой темы я узнал, что игральные кости возникли около 3000 лет до нашей эры. Места, где находили археологи самые древние предметы для игры – это Египет, Иран, Ирак и Индия. Узнал о многообразии форм и видов игральных костей. А так же, где используются игральные кости и свойства, которыми они обладают. Я совсем не рассматривал тему решения задач. Просто теория вероятности для меня пока сложная. Но надеюсь к ней еще вернуться.

Многие великие математики в разные времена решали задачи с игральными костями. Но мне не удалось найти автора формулы для нахождения наибольшей суммы при бросании игральных костей. Возможно, я недостаточно долго искал. Но я продолжу поиски. Мне интересно узнать, кто первый вывел эту формулу.

Список литературы

1. Азарьев энциклопедический словарь [Электронный ресурс] http://www. slovarus. ru/?di=72219

2. , Суворова о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов. – Ярославль: Академия развития, 2006. –192 с.

3. , Фрибус задачи. – М.: Просвещение, 1994. – 128 с.

4. Википедия свободная энциклопедия [Электронный ресурс] https://ru. wikipedia. org/wiki/Игральная_кость

5. Игорный бизнес. Пер. с англ. и фр. /НВЦ "Библиомаркет"; Ред.-сост. . - М. 1994. - 208 с.

6. Кости, зары, кубики [Электронный ресурс] http://www. /ru/articles/igralnye_kosti-34

7. Лютикас о теории вероятностей. – М.: Просвещение, 1983. – 127 с.

8. Никифоровский математики Бернулли. – М.: Наука, 1984. – 180 с.

9. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 1999. – 237 с.

10. 100 великих ученых. – М.: Вече, 2000. – 592 с.

11. Толковый словарь иностранных слов [Электронный ресурс] http:///search

12. Толковый словарь Ушакова [Электронный ресурс] http://www. /3/193/772800.html

13. Шень А. Вероятность: примеры и задачи. - М.: Издательство МЦНМО, 2008. – 64 с.

14. Яковлева задачи с игральными костями при изучении элементов теории вероятностей [Электронный ресурс] http://festival.1september. ru/articles/517883/

15. Яковлева и забавные фокусы с игральными костями [Электронный ресурс] http://festival.1september. ru/articles/624782/

Приложение 1. Результаты бросков 2 игральных костей

Приложение 2. Результаты бросков 2 игральных костей

Преимущество онлайн генератора кубика перед обычными игральными костями очевидно - он никогда не потеряется! Со своими функциями виртуальный кубик справится гораздо лучше, чем реальный - подтасовка результатов полностью исключена и надеяться можно только на его величество случай. Игральные кости онлайн - это, помимо всего прочего, отличное развлечение в свободную минутку. Генерация результата занимает три секунды, подогревая азарт и интерес игроков. Для имитации бросков кубика Вам достаточно нажимать кнопку «1» на клавиатуре, что позволяет не отвлекаться, например, от захватывающей настольной игры.

Число кубиков:

Сгенерировать бросок кубика

Пожалуйста, помогите сервису одним кликом: Расскажите друзьям про генератор!

Когда мы слышим такое словосочетание как «Игральные кости», то сразу же приходит ассоциация казино, где без них просто не обходятся. Для начала просто вспомним немного, что представляет собой данный предмет.

Игральные кости – это кубики, на каждой грани которых точками представлены цифры от 1 до 6. Когда мы их кидаем, то всегда находимся в надежде на то, что выпадет именно загаданное и желанное нами число. Но бывают случаи, что кубик, падая на ребро, не показывает цифру. Это означает, что бросивший так, может выбрать любую.

Случается и так, что кубик может закатиться под кровать или шкаф, и когда его оттуда извлекают, соответственно, число меняется. В таком случае, кость перекидывается заново, чтобы все четко увидели цифру.

Бросок кубика онлайн в 1 клик

В игре с участием обычных игральных кубиков можно очень легко жульничать. Чтобы выпало нужное число, нужно эту сторону кубика поставить сверху и закрутить его так, чтобы она осталась такой же (крутится только боковая часть). Это неполная гарантия, но процент выигрыша составит семьдесят пять процентов.

Если использовать два кубика, то шансы уменьшаются до тридцати, но и это немалый процент. По причине мошенничества многие кампании игроков не любят использовать игральные кости.

Как раз-таки наш замечательный сервис работает именно для того, чтобы избежать таких ситуаций. Мошенничать с нами будет невозможно, так как бросок кубика онлайн нельзя подделать. На странице выпадет цифра от 1 до 6 совершенно случайным и неконтролируемым образом.

Удобный генератор кубиков

Очень большое преимущество в том, что генератор кубиков онлайн не может потеряться (тем более его можно закрепить в закладки), а обычная маленькая игральная кость может с легкостью куда-нибудь запропаститься. Также огромным плюсом будет являться тот факт, что подтасовка результатов полностью исключается. У генератора есть функция, которая позволяет выбрать от одного до трех кубиков для одновременного броска.

Генератор игральных костей онлайн является очень интересным развлечением, одним из способов развития интуиции. Используйте наш сервис и получайте мгновенный и достоверный результат.

4.9 из 5 (оценок: 111)

Игра – это искра, зажигающая
огонек пытливости и
любознательности.

В. Сухомлинский

Игра – это один из видов деятельности человека. Дидактические игры уточняют знания о предметах и явлениях окружающей жизни. Одна из целей использования игры в обучении развивающая: развитие внимание, мышления, умения сравнивать, сопоставлять, воображать, фантазировать, развитие творческих способностей, мотивации учебной деятельности.

Технология проведения игры заключается в том, чтобы ребенок мог самовыразиться, самоутвердиться, познать себя. Именно в игре проявляются и развиваются разные стороны его личности, удовлетворяются многие интеллектуальные и эмоциональные потребности, складывается характер.

Игры развивают инициативу и волю ребенка, учат жить и работать в коллективе, считаться с интересами одноклассников, приходить им на выручку, приучают к дисциплине, соблюдению установленных правил. Увлеченные живой, эмоциональной игрой, дети легче усваивают и приобретают различные полезные навыки и знания.

Применение игровых элементов в обучении способствует рассеиванию ученических страхов, скандальные споры, враждебную настороженность и нежелание некоторых учеников работать.

Представленные ниже развивающие игры с игральными костями обладают характерными особенностями:

• каждая игра представляет собой набор задач, которые решаются с помощью кубиков;
• игры подаются в разнообразной форме, что знакомит детей с разными способами информации;
• игры имеют широкий диапазон сложности, это дает возможность использовать их для любого возраста и класса;
• большинство игр не исчерпываются предлагаемыми заданиями, а позволяют составлять новые варианты и заданий, и игры.

Таким образом, игры позволяет сразу решать несколько проблем:

1. развитие творческих способностей в любом возрасте;
2. создание условий, опережающие развитее способностей;
3. подниматься каждый раз на новую ступень своих возможностей;
4. игры, разнообразные по своему содержанию, создают атмосферу свободного и радостного творчества;
5. игры позволяют детям самостоятельно размышлять и принимать решения.

1. Игра “Три кубика”

Бросают три кости, выигрывает тот игрок, у которого сумма выпавших очков равнялась одному из двух чисел, названных им перед началом игры. Например, игрок назвал 7 и 13, и один из его удачных бросков показан на рисунке.

Рисунок 1

2. Игра “Крэпс”

Историческая справка. Игра “крэпс” – одна из популярнейших в Америке. Предшественником ее была старинная английская игра “азар” – игра с двумя костями для двух и более игроков.

Название “азар” происходит от испанского слова “аzаr” - неудачный бросок при игре в кости, неудача. Это испанское слово, в свою очередь, происходит от арабского “azzahr” -кость. Во Франции и в Англии игроки в “азар” использовали слово “крэбс” (“злюка”) для обозначения неудачного броска, после которого на костях в сумме выпадало два или три очка. Постепенно слово трансформировалось и стало звучать как “крэпс”.

В начале XIX века негры, жившие в окрестностях Нью-Орлеана, стали пробовать играть в “азар”. Правила игры упростились, и игра стала называться “крэпс”. “Крэпс” в США еще называют “Крэпшутинг” или “Шутинг Крэпс”.

Правила игры такие. Игрок бросает две кости и подсчитывает сумму выпавших очков. Он сразу же выигрывает, если эта сумма равна 7 или 11, и проигрывает, если она равна 2, 3 или 12. Всякая другая сумма – это его “пойнт”. Если в первый раз выпадает “пойнт”, то игрок бросает кости еще до тех пор, пока он или не выиграет, выбросив свой “пойнт”, или не проиграет, получив сумму очков, равную 7.

Рисунок 2

3. Игра “2 кубика”

Бросают два кубика (рисунок а, б).

Рисунок 3

Белый кубик показывает число выигрышных очков, черный – число проигрышных. Например: В 2 (выигрыш 2 очка) (рисунок в), П 4 (проигрыш 4 очка) (рисунок г). Заполните таблицу 1. Подведите итог игры.

Таблица 1

Рисунок 4

4. Игра “4 кубика”

Вариант 1. В коробке находятся четыре игральных кубика: два белых и два черных. Берут наугад два кубика и бросают. Белый кубик показывает число выигрышных очков, черный – число проигравших. Заполните таблицу 2. Подведите итог игры.

Таблица 2

Рисунок 5

5. Игра “Какова сумма?”

Игра может проводиться на улице. Нарисуем во дворе школы большой прямоугольник, 14?11 клеток. Между 14 детьми распределяем 14 кусков картона, пронумерованных от 1 до 14. Дети ставят свои фишки на линию старта на клетку с соответствующим номером. Если нарисовать достаточно большие клетки, можно расставить в них не фишки, и самих детей. Бросаем две большие игральные кости, красную и синюю. После каждого подбрасывания костей ребенок, номер которого равен сумме очков на выпавших гранях, продвигается на одну клетку к финишу. Выигрывает тот, кто первый достигает финиша.

Вот ситуация после нескольких бросков.

Рисунок 6

Дети играют в эту игру с большим возбуждением. Очень скоро они догадываются, что некоторые из них находятся в более благоприятных условиях, чем другие, и что участники, получившие номера 1, 13, 14, не имеют никакого шанса продвинуться вперед. Можно обсудить вопрос о причинах: обнаруживается, что, имея две кости, невозможно получить в сумме 1 или число, большее 12. Тогда дети решают, что в следующей партии эти числа нужно выбросить.

Предположим, что игра кончается победой номера 10. В следующей партии дети, как правило, хотят получить этот номер. Есть ли у них причина сделать такой выбор? Некоторые после размышления выбирают 6, 7, 8 или 9, но никто не хочет взять 2, 3, 4, 11 или 12. Следующий этап подтверждает их выбор. Перераспределим детей в группы по три, каждой группе дадим красную и синюю кости и таблицу 3.

Таблица 3

Рисунок 7

Детям дают дощечки, пронумерованные от 2 до 12. Каждый выбирает 5 дощечек. Бросают две кости, и те, у кого номер совпадает с суммой точек на гранях костей, ставят дощечку с этим числом на соответствующую клеточку. Выигрывает тот, кто первым выставит свои пять дощечек.

Во время этой игры у детей будет возможность подтвердить то, что они констатировали на предыдущем этапе: сумма 7 выпадает гораздо чаще остальных.

Вот вариант этой игры: каждый ребенок выбирает какое-либо число и после каждого броска тем детям, которые выбрали наиболее близкое к полученной сумме число, вручается фишка. Если таких детей несколько, то все они получают по фишке.

Так, например, если дети выбрали соответственно 6, 7 и 9, у кого из них больше шансов выиграть?

При двух костях имеются:

• один способ получить 2 или 12;
• два способа получить 3 или 11;
• три способа получить 4 или 10;
• четыре способа получить 5 или 9;
• пять способов получить 6 или 8;
• шесть способов получить 7.

Первый выигрывает, если сумма будет 2, 3, 4, 5 или 6, второй – если сумма будет 7 или 8, а третий – если сумма будет 8, 9, 10, 11 или 12. таким образом, вероятность выигрыша для каждого ребенка равны соответственно 15/36, 11/36, 15/36.

6. Игра “Перевертывание кости”

Для игры нужна одна игральная кость. Первый игрок называет любое число от 1 до 6, а второй бросает кость. Затем они по очереди перевертывают кость в любую сторону, но не больше, чем на четверть полного оборота за один раз. К числу очков, названному первым игроком, прибавляется число очков, выпавших на верхней грани после бросания кости и каждого ее поворота. Выигрывает тот из игроков, которому удается при очередном повороте достичь суммы 25 очков или вынудить противника при следующем повороте превзойти 25 очков.

Например, игрок называет 6, а игрок В, подбросив кость, получает 3 очка, после чего сумма становиться равной 9. Затем А повертывает кость вверх грань с 1 очком, сумма становится равной 10 очкам, игрок В повертывает кость вверх гранью с 3 очками (сумма равна 13 очкам). Игрок А повертывает кость вверх гранью с 6 очками (сумма равна 19). Игрок В повертывает кость с 3 очками (сумма равна 22). Игрок А повертывает кость вверх гранью с 1 очком (сумма очков 23). Наконец, игрок В переворачивает кость вверх гранью с 2 очками, достигает суммы 25 очков и выигрывает.

Рисунок 8

7. Игра “Три кости”

Игроки по очереди бросают три кости одновременно. После каждого броска они изымают кость, на которой выпало наибольшее число. Если это число выпало на нескольких костях, то изымают только одну кость. После каждого броска записывается сумма чисел, выпавших на двух остальных костях. Выигрывает тот, у кого сумма окажется наибольшей после 10 бросаний (о количестве бросаний можно договориться заранее).

8. Игра “Пиратские кости”

Во многих старинных морских играх числа и счет играют не последнюю роль. Легенды гласят, что пираты во время отдыха забавлялись игрой в кости, в частности, в покер. Главная цель – заполнить все пункты игровой таблицы 4 и набрать в итоге как можно больше очков. Таблица состоит из 3-х частей и 15-ти пунктов (строк). Чтобы заполнить их, надо сделать 15 ходов. Каждый ход состоит из трех попыток.

Таблица 4

Рисунок 9

Чтобы записать очки в какой-либо пункт таблицы, надо за три попытки выбросить комбинацию из трех костей с равными значениями граней и двух костей с другими равными между собой значениями граней. Строки таблицы можно заполнять в любой последовательности. Каждый пункт таблицы играет один раз.

Правила заполнения таблицы:

1. В покер играют пятью костями. Игроки ходят по очереди. Когда до вас дойдет ход, встряхните кости в ладонях (или в стаканчике) и бросайте. Это первая попытка. В зависимости от того, какие очки выпали на костях, решайте, какой пункт таблицы выгодно заполнить. Кости с устраивающими вас значениями отложите в сторону, остальные перебросьте (2-я попытка). Из переброшенных костей вновь оставьте необходимые, а остальные перебросьте еще раз (3-я попытка). Имейте в виду, что в ходе попыток можно перебрасывать любые кости, в том числе и отложенные ранее. Полученный после трех попыток результат запишите в таблицу.

Конечно, можно ограничиться одной или двумя попытками. Если вас устраивают значения костей.

Вы также вправе заполнить любую другую сточку таблицы вместо объявленной ранее, если в результате трех попыток вы поняли, что вам это выгоднее.

2. Если вам так не повезет, что после трех попыток вы не сможете заполнить ни один из пунктов, то вам придется вычеркнуть любой пункт из второй или третьей части таблицы и в дальнейшем его уже не играть.
3. Теперь подробнее разберемся с каждой из частей таблицы. Посмотрите внимательно на первую часть . Чтобы сыграть в ней какой-нибудь из пунктов, надо за ход выбросить три кости с одинаковыми значениями граней. Количество очков, выпавших на каждой из костей, должно соответствовать числу, обозначенному в пункте.

Первую часть таблицы нужно заполнить обязательно. Вычеркивать пункты из нее нельзя. Очков здесь почти не зарабатываешь, зато наказание может быть суровым: если за три попытки вместо трех костей с нужными гранями вы выбросили только две, то придется записать в этот пункт таблицы штраф “–10”; если выпала только одна нужная кость, пишите “–20”; если же за ход не удалось выбросить ни одной нужной кости, вы “заработали” штраф “–30” очко.

Если необходимых костей выпало ровно три, то в пункте, который вы играете, ставиться “крестик” (?), что означает: “пункт сыгран”. Очков при этом вы не заработали, но и штрафа избежали.

Если же нужных костей выпало на одну или две больше, то в строчку таблицы запишите сумму всех выпавших очков. Правда, при пяти выпавших с необходимыми гранями костях многие игроки предпочитают заполнить пункт “5 р” – покер.

4. Основное количество очков вы заработаете, играя пункты второй и третьей частей таблицы, в которых записываются суммы выпавших очков.
5. Чтобы заполнить какой-либо пункт второй части, вы должны в результате хода получить комбинацию из двух, трех и т.д. костей с любыми одинаковыми значениями граней. В пункт записывается их сумма. Например, при игре пункта “3 р” выпали кости с гранью “4”. В пункт записывается 12 очков (4 + 4 + 4). Если же выпали четыре таких кости, то учитываются из них только три необходимых в этом пункте, и результат все равно будет равен 12 очкам. Другой пример: вы играете пункт “2 п” (две пары), у вас выпало “2” и “2”, “6” и “6”. Сложите очки и результат запиши в таблиц (2 + 2 + 6 + 6 = 16).
6. Если при заполнении любого из пунктов 2-й или 3-й части таблицы (кроме пункта “сумма”) вам повезло и нужные кости выпали с первой попытки, то результат хода умножается на два и записывается в таблицу.
7. К сумме очков при пяти равных (покер) в любом случае прибавляется 50 очков.
8. Сумма очков в пункте “малый стрит” равна 15 (1 + 2 + 3 + 4 + 5), а с первой попытки – 30.
9. Сумма очков в пункте “большой стрит” равна 20 (2 + 3 + 4 + 5 + 6), а с первой попытки – 40.
10. Сумма в пункте “фул” может быть самой разной. Например: выпало две кости с гранью “4” (4 ? 2 = 8) и три кости с гранью “2” (2 ? 3 = 6). Записывается сумма: 8 + 6 = 14. Если результат получен с первой попытки, сумма удваивается: 14 ? 2 = 28.
11. В пункте “С” записывается сумма очков, выпавших на всех костях (с любыми значениями граней).

Многие комбинации костей подходят к разным пунктам таблицы. Например, на костях выпало “4”, “4”, “4”. У вас не заполнены ни пункт “3 р”, ни пункт “4” в первой части таблицы. Подумайте, что вам нежнее: расквитаться с коварной первой частью или подзаработать побольше очков. Ведь в пункт “3 р” вы в этом случае можете записать 12 очков, а это не так уж мало (а если очки выпали с первой попытки, то сумма удвоится).

Когда таблица заполнена всеми игроками полностью, каждый складывает свои очки и вычитает из них сумму штрафов. Побеждает тот, кто в итоге набрал наибольшее количество очков.

9. Игра “Тысяча”

Играют пятью игральными костями. Цель каждого игрока ясна из названия – первым набрать 1000 очков. Но это не так-то просто, потому что подсчитываются очки, выпавшие только на зачетных гранях костей:

• грань “1” – 10 очков;
• грань “5” – 5 очков;
• три кости с равными гранями, выпавшие одновременно, – десятки очков. Например, “2”, “2”, “2” – 20 очков, “5”, “5”, “5” – 50 очков и т. п., но “1”, “1”, “1” – это 30 очков;
• четыре кости с равными гранями, выпавшие одновременно, – сотни очков. Например, “6”, “6”, “6”, “6” – 600 очков и т. п.;
• все пять костей, выпавшие одномоментно с равными значениями граней (любыми), означают “тысячу”. Выбросивший их счастливчик сразу становится победителем.

Правила игры:

1. Игроки ходят по очереди. За один ход вы можете сделать не более трех бросков.
2. После первого броска откладывайте кости с зачетными гранями, остальные перебрасывайте. Из переброшенных вновь откладывайте зачетные кости, остальные перебрасывайте третий раз.
3. Если на всех выброшенных костях выпали зачетные грани, то их сумма запоминается, и все кости перебрасываются в следующей попытке.
4. Если вы бросили кости и ни на одной из них не выпало зачетных граней, знайте: фортуна от вас отвернулась – очки, набранные в результате всего данного хода, сгорают. Поэтому, набрав определенное количество очков, вы можете остановиться и завершить свой ход после любой из попыток. Сделайте это вовремя!
5. Результаты всех бросков (но не более трех) складываются и записываются как результат хода.
6. Чтобы вступить в игру и сделать первую запись очков, надо за один ход набрать 60 очков или более.
7. Если вы уже вступили в игру, то количество очков, набранных вами за один ход, может быть любым (см. пункт 1.4.).
8. В ходе игры вы, как и любой из ваших соперников, три раза можешь попасть в “бочку”, то есть по набранным очкам попасть в определенный промежуток: первая “бочка” – с 300 до 400 очков; вторая “бочка” – с 600 до 700 очков; третья “малая бочка” – с 900 до 960 очков.
9. Попавший в “бочку” игрок получает право на три хода подряд (по три броска каждый). За это время он должен набрать столько очков, чтобы выйти за пределы “бочки”.
10. Когда пытаетесь выйти из “бочки”, правило “сгорания” очков не действует.

Например: результат первого броска – 15 очков; результат второго броска – 0 очков; результат третьего броска – 10 очков.

Затем делаются второй и третий ходы. Результаты ходов складываются.

1. Если за три хода вы не вышли за пределы 400, 700 или 960 очков, у вас остается только 100 очков – остальные сгорают.
2. Пример выхода из “бочки”. Было 260 очков. Наилучший вариант – если игрок в результате очередного хода наберет 35 очков (260 + 35 = 295) и подойдет к порогу “бочки” максимально близко. Право хода в этом случае переходит к сопернику, а игрок, дождавшись своей очереди, должен за три хода подряд набрать 105 очков (295 + 105 = 400). Если же, имея 260 очков, игрок в результате хода набрал 40 очков (или более), он продолжает ходить, потому что о уже вошел в “бочку”, и для того, чтобы выйти из нее, игроку остается только два хода (по три броска каждый), ведь первым будет считаться тот, в результате которого игрок в “бочку” вошел.
3. Если вы набрали нужные очки и выкарабкались из “бочки” менее чем за три хода, то записывайте набранные очки, а кости передайте следующему игроку.
4. Игра окончена, когда один из игроков набирает 1000 очков (без перебора). Если за ход игрок набрал больше очков, чем ему недостает до 1000, то результат хода не учитывается.

Литература

1. Афанасьев В.В., Суворова М.А. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов. – Ярославль: Академия развития, 2006. – 192 с.
2. Бизам Д., Герцег Я. Игра и логика. 85 логических задач / пер. с венг. Ю.А. Данилова. – М.: Мир, 1975. – 358 с.
3. Бурау И.Я. Загадки мира цифр. – Донецк: Сталкер, 1997. – 448 с.
4. Гарднер М. Математические досуги: пер. с англ. / под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Мир, 1972. – 496 с.
5. Гарднер М. Математические новеллы: пер. с англ. / под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Мир, 1974. – 456 с.
6. Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях: элементы теории вероятностей в курсе сред. школы. Пособие для учителя / пер. с фр. А.К. Звонкина. – М.: Просвещение, 1979. – 176 с.
7. Гринченко И.С. Игра в теории, обучении, воспитании и коррекционной работе: учебно-методическое пособие. – М.: ЦГЛ, 2002. – 80 с.
8. Минскин Е.М. Пионерская игротека. – М.: Молодая гвардия, 1987. – 174 с.