Древнеегипетская нумерация. Древние числа и цифры

30.06.2019

Мало кто задумывается, что те приемы, которые мы используем для письма и счета формировались на протяжении многих тысяч лет. Нам они кажутся очевидными, ну, подумаешь, умножить в столбик, перенести все члены с неизвестным на одну сторону. Ведь это так просто! На самом деле это огромные интеллектуальные завоевания человечества, которые часто были недоступны умнейшим людям прошлого. Я собираюсь (если хватит терпения и времени) написать несколько заметок о том, как считали в прошлом. В этой я расскажу про то, как считали египтяне.

Меня всегда немного интересовал древний Египет. Ну, во-первых, Египет - одно из первых государств, о котором мы много знаем, и кроме того, это очень великое государство, которое оставило огромное наследие. Я не имею в виду огромные размеры пирамид. Даже наша письменность и латинская, и кириллическая восходит к древнему Египту. Мне также всегда нравилась египетская скульптура, и мода брить голову у женщин и мужчин. Это кажется очень современным. Но это статья не о художественной культуре. Так что приступим.

Цифры и числа

Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой счисления. Выглядели цифры примерно так:

Эти цифры относятся к т.н. иероглифическому письму, которое позже было заменено иератическим. Я очень люблю иератическое письмо. Оно выглядит весьма стильно. Но здесь я буду использовать иероглифическое начертание.
Все целые числ образовывались путем повторения знаков, приведенных выше (и некоторых других для еще более высоких разрядов). Например, 3215 будет:

Очень ясная система, хотя не слишком лаконичная. Ее просто освоить, но числа получаются не слишком удобными. С первого взгляда трудно уловить точное значение числа. Писали египтяне в разных направлениях, но я здесь пишу как привычно нам слева на право.
Теперь насчет дробей. Для трех дробей существовали специальные значки:

Все остальные дроби, у которых в числителе была единица, обозначались знаменателем и похожим на глаз значком сверху. Например, ниже я написал 1/14

Все правильные дроби записывались как сумма таких дробей. Например:

На одном сайте я прочитал, что «в некоторых случаях» египетские дроби «лучше наших». И даже в английской вики, есть такой чудный пример: «Египетские дроби иногда легче позволяют сравнить размер дробей. Например, если некто хочет знать, больше ли 4/5, чем ¾ он может превратить их в египетские дроби:
4/5= 1/2 + 1/4+ 1/20
3/4= 1/2 +1/4»
Мне этот «легкий способ» напоминает шутку про Фейнмана, который ради какой-то задачи школьного курса просуммировал ряды в уме. Я гуманитарий и особо не умею считать, но сравнивать в уме обычные дроби в их нормальной записи мне кажется гораздо проще, чем переводить их в египетский вид. Возможно, для египтян сравнения такого рода и были более удобны, так как наших дробей они не знали.

Сложение и умножение

Ну, вот мы и переходим к главному. Как египтяне считали? Сложение и вычитание целых чисел у них происходило также как и у нас, а может быть даже проще, им ведь просто нужно было объединить иероглифы и учесть смену разрядов. А как обстоит дело с умножением и делением? В древнеегипетском мире это была вовсе не тривиальная задача.
Египтяне использовали такой алгоритм для умножения. В два столбца писались числа. Первый столбец начинался с единицы, а второй с множимого. Затем каждое число в столбце удваивалось до тех пор, пока из некоторых чисел первого столбца не удастся сложить множитель. Вы поняли? На примере понятно лучше. Например, 7 на 22

1+4+8=13 и 57+228+456=741
Иногда, чтобы ускорить процесс прибегали к умножению на 10.
Может возникнуть вопрос, всегда ли можно представить множитель в таком виде? Да, на самом деле мы фактически имеем дело с двоичной системой счисления: 1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +1*2 3 т.е. 1+100+ 1000=1101
Деление выполнялось при помощи схожего алгоритма. Разделим 238 на 17:
Опять составляем табличку с одной стороны, которой стоит 17 с другой единица. Процесс удвоения останавливается на числе, которое при удвоении будет больше делимого.

Здесь мы останавливемся, ведь 128 на 2 = 256, а это больше 213. 128+64<213. 128+64+32 уже опять больше. Не подходит. 128+64+16<213 Пока все ОК. 128+64+16+8 уже больше. Значит мы смогли набрать только 208=128+64+16 из 213. И нам осталось разделить 213-208=5
Мы делим делитель по полам, используя уже привычную таблицу. К счастью 5 это 1+4.

1/2*	4
1/4	2
1/8*	1

Таким образом, окончательный результат будет
213/8 = 2+8+16+1/2+1/8 =26+1/2+1/8
Сейчас мы имеем удачный случай, но так получается не всегда.

С непозиционной египетской системой счисления, которая употреблялась в Древнем Египте, нас наглядно знакомят немногие сохранившиеся папирусы. Примеры задач и их решения в них настолько интересны, что остается только сожалеть, что их так мало.

Из них видно, что математика и египетская система счисления были тесно связаны с хозяйственными нуждами и практическим применением. Каждый год после разлива Нила приходилось восстанавливать строения, заново межевать земельные наделы, рассчитывая площадь и границы, вести учет урожая, календарь.

Что такое позиционная и непозиционная системы счислений?

Ответ таится в самом названии. Если позиция цифры влияет на результат вычислений, перед нами позиционная система чисел, если нет - непозиционная.

Если мы пишем 12 - это двенадцать, а с теми же цифрами 21 - это двадцать один. По египетской системе счисления: чтобы написать 12, понадобится использовать два раза символ единицы и один раз символ десятки, а 21 будет выглядеть как один знак единицы и два знака десятки, то есть всего надо написать три знака.

К непозиционным относятся: знакомая нам римская система, в которой цифры обозначались римскими буквами, славянская система, где также каждая буква обозначала какую-то цифру или число. Римская система справлялась со своими функциями в Западной Европе до 16 века.

Используемая нами система счисления в современной жизни - позиционная десятичная система.

Непозиционные системы хорошо подходили для выполнения простых арифметических действий, так как сложные вычисления предполагали громоздкие записи, что не мешало в Древнем Египте успешному развитию алгебры и геометрии.

Как считали египтяне?

Что это такое - египетская система счисления? Чтобы написать какое-либо число, использовали иероглифы, обозначавшие определенные числа, сумма которых равнялась нужному значению.

Специальные обозначения имелись для чисел 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. При написании нужного числа каждое обозначение использовалось до 9 раз. Запись в египетской системе счисления шла по возрастанию: вначале единицы, потом десятки, сотни и так далее.

Причем писали, как правило, справа налево, но можно было и слева направо, сумма от этого не менялась. Использовалось и вертикальное написание, но тогда отсчет шел сверху вниз.

Использовалось два способа написания:

Иероглифический, в котором употреблялись принятые иероглифы.
Иератический, который являлся более схематичным и удобным на практике.

Экскурс в историю

История египетской системы счисления возникла в глубокой древности, первые рукописи с цифрами относятся ко второму тысячелетию до нашей эры. Денег тогда не было, поэтому система использовалась как для невероятных по сложности и величию математических задач, так и для решения ежедневных бытовых вопросов.

Ведь знание математики использовалось и при межевании земель, и при построении календарей, карт в астрономии, мореплавании, при строительстве дворцов, каналов и военных укреплений.

Египетская непозиционная система счисления применялась до 10 века нашей эры.

Она имела и мистическое значение, тайну которого унесли с собой жрецы, но частично приоткрыл миру Пифагор. У него есть труды, в которых он описывает символические значения, которые придаются цифровым иероглифам, написанные им после пребывания в Египте. Поэтому относят их описание к египетской системе счисления.

Сохранилось всего несколько папирусов тех времен, по которым можно понять, что уровень математики был высокий. Достоверно известно, что греки изучали древнеегипетскую математику. Одним из сокровенных знаний является египетская непозиционная система счисления.

Папирус Ахмеса

Папирус Ахмеса датируется 1650 г. до н.э., содержит 84 математические задачи. Он был найден в Фивах, хранится в Британском музее.

Все задачи в папирусе рассмотрены на конкретных примерах египетской системы счисления. В них показываются примеры расчетов с дробями, с целыми числами, делением и умножением.

Даны расчеты для нахождения площадей геометрических фигур: четырехугольника, круга, треугольника.

Сведения из папируса доказывают, что египетские математики умели извлекать корень, составлять арифметическую и геометрическую прогрессию, уравнения с неизвестными.

Аликвотные дроби

Интересно, что в расчетах использовались только аликвотные дроби, в которых числитель равнялся единице и обозначался таким знаком, а под ним писались значения знаменателя, а все другие дроби для расчетов вначале нужно было разложить до аликвотных. Но использовались и имели специальное обозначение дроби 2/3 и 3/4.

Для приведения обычных дробей в состояние аликвотных по египетской системе счисления нужно было потрудиться:

4/5 = 16/20 = 10/20 + 5/20 + 1/20 = 1/2+1/4 + 1/20

2/5 = 1/5 + 1/5, 2/7 = 1/4 + 1/28

3/7 = 12/28 = 24/56 = 14/56+7/56+3/56 = 1/4+1/8+1/18+1/56.

Складывались дроби современным способом: приведением к общему знаменателю, для многих значений имелись многочисленные готовые таблицы.

Умножение

Египтяне узнавали нужный результат, не зная таблицы умножения, но используя знание о том, что, если один множитель увеличить в два раза, а другой уменьшить, то результат не изменится:

32*13=16*26=8*52=4*104=2*208=1*416

Интересно, что этот способ умножения был известен на Руси, и считалось, что он пришел из Древнего Египта, а в Европе его называли русским.

Папирус Голенищева

Благодаря стараниям ученого-египтолога В. С. Голенищева, в Москве хранится папирус еще на 200 лет древнее папируса писца Ахмеса. Ученый купил его во время своей работы в Фивах.

Он был написан иератическим способом, курсивом, в нем рассматривается 25 задач, дано их описание по египетской системе счисления и решение. Его длина более 5 м при ширине 7 см. К этим задачам нет никаких комментариев, как и в предыдущем папирусе, есть только математические расчеты.

Он показывает, что египтяне умели вычислять площади треугольника, трапеции, прямоугольника, круга, а также объёмы пирамиды, призмы, параллелепипеда, цилиндра и усечённой пирамиды с большой точностью, а многие формулы полностью совпадают с современными.

При египетской системе счисления было вычислено число «пи» 3,16, которое почти соответствовало современному значению 3,14, хотя в те времена повсеместно на Востоке использовалось значение, равное 3.

Все вещи - суть числа

Считается, Пифагор прожил в Египте 22 года, глубоко изучая геометрию, философию, мистику цифр. Те открытия, которые позднее делала Пифагорейская школа, вполне могли быть совершены еще в Древнем Египте.

Поэтому считается, что труды Пифагора о мистике цифр, которые он написал позже, основаны на тайных знаниях, полученных им от египетских жрецов. Они не брали на обучение иностранцев, попал он к ним по высокой протекции, после собеседования с главным жрецом, который счел его достойным быть посвященным в тайны.

Числа были живыми сущностями, отражающими свойства пространства, музыки, энергии. Все можно выразить через математику, описав формулами видимые явления предсказать невидимые, опираясь на логику и математические закономерности.

Высота, ширина основания, угол наклона пирамиды Хеопса в Египте соответствуют математическому правилу построения пирамиды Пифагора, что также подтверждает взаимосвязь сделанных им открытий и знаний, полученных от древнеегипетских жрецов, использовавших египетскую систему счисления.

Работая с цифрами, древние мыслители не только понимали суть вещей, но и могли воздействовать на них.

Изучая математику Древнего Египта, использующую египетскую систему счисления, можно только восхищаться тем, как много было открыто людям за тысячи лет до нашей эры.

Всматриваясь в причудливые знаки, не сразу поймешь, что символизируют древние числа и цифры. Мешки с крупами, орудия труда. В хвостатых, изогнутых знаках читается менталитет древнего народа, уровень его развития, навыки, экономическая обстановка. Обозначения цифр сотканы из глубоких абстракций и художественных представлений о мире. Рождение цифр неразрывно связано с возникновением письменности, но узелковое письмо шумерских народов появилось даже раньше. Оно было создано для счета. О чем это говорит? Уметь считать было важно во II в. до н.э., и в высокотехнологичном ХХI столетии.

Числа и бизнес пребывают в прочном тандеме. Числа нужны для основания и раскрутки бизнеса (для вычисления рентабельности, расчета конверсии, КПД), а бизнес нужен для хороших цифр на счету в банке . Счет стал неотъемлемой частью человеческого мышления и настолько влился в повседневную жизнь, что мы даже не замечаем его. Предприниматель должен числа не просто видеть, считать и предполагать, а читать. Созерцать не глазами, а разумом.

Цифры и числа – это разные понятия. В обиходе мы их путаем, но существенная разница в сути слов от этого не исчезла. Цифра служит для условного обозначения числа. Число выражает количественную характеристику в цифрах, и представляет собой более обобщенное понятие.

Если проанализировать, какими были первые цифры, можно увидеть обширную историю культуры отдельного народа. Составление обозначений для чисел потребовало более высокого интеллектуального уровня. Поэтому наши предки оставляли тысячи зарубок на твердых материалах. Столько, сколько требовалось. Так, наивно, но достоверно, заполнялись древние отчетные документы, «чеки» и т.п. Первые цифры представляли собой примитивные засечки и значки.

Пример древних чисел и цифр

Генезис цифр останется для ученых неизведанной Марианской впадиной. Витиеватая история возникновения вызывает замешательство. Точно известно, что первые попытки письменной фиксации цифр были в Египте и Месопотамии: найденные древние математические записи тому свидетельство . Эти государства располагались далеко друг от друга, письменность и культура в каждом из них уникальна.

В Древнем Египте сформировалось скорописное иероглифическое письмо, месопотамские писцы использовали клинопись. Поэтому египетские первые цифры своей формой передавали природу всех окружающих предметов: животные, растения, предметы быта и т.д. Папирус Ринда (1650 г. до н.э.) и папирус Голенищева (1850 г. до н.э.) – числовые древнеегипетские документы - свидетельствуют о высоком культурном развитии народа. Месопотамская клинопись запечатлена на глиняных табличках, на которых цифры представлены небольшими клиньями, повернутыми в разные стороны соответственно своему значению.

И в египетских, и в месопотамских системах счисления есть цифры от 1 до 10, особые метки для обозначения десятков, сотен и тысяч, и ноль, который обозначали выделенным пустым местом.

Числа древнего Египта построены грамотно и логично. Рационализм и четкость отличают эти системы счисления от аналогичных попыток других народов. Цифры значением меньше десяти обозначались ׀. Например, цифра 6 выглядела как ׀׀׀׀׀׀. Число 10 обозначалось перевернутой подковой в иероглифической системе и особым символом – в иератической. Сколько десятков в числе, столько и «подков». Иератическая система письменности предполагала для каждого числа, на десяток выше предыдущего, отдельный символ. Начиная от 100, это была стилизованная клюшка, над которой с каждой новой сотней ставили крохотную пометку.

Достижение Вавилона

Числа древнего Вавилона мало отличались от месопотамских: те же клиновидные знаки служили для обозначения единиц — ˅, и десятков — ˃. Комбинация этих знаков применялась для обозначения чисел 11-59. Число 60 в письме выглядело как зеркальное отражение буквы «Г». 70 – Г˃, 80 — Г˃˃ и так далее, принцип ясен, клинопись не отличается гениальностью.

Вавилонская система счисления

Основная ценность заключается в том, что один и тот же знак – обратите внимание – в зависимости от того, где он расположен в записи числа, имеет разное значение. Речь идет о поместном размещении знаков в системе счисления. Те же клиновидные знаки, указанные в разных разрядах, обладают разной значимостью. Поэтому Вавилонскую систему счисления с нулем принято называть позиционной. Математики могут с этим поспорить, потому что не найдено ни одного источника, в которой ноль располагался бы в конце числовой записи, что говорит об относительной позиционности.

Вавилонская система стала своеобразным трамплином, с которого человечество совершило прыжок на новый этап своего развития. Идея со временем попала в руки индусов. Они внесли свои коррективы, усовершенствовав систему счисления. Переняли идею итальянские торговцы, которые привезли ее в Европу вместе с товаром. Позиционная система счисления облетела весь мир, обогатив своим появлением не только математические науки, но и современный счет.

Знаете, откуда взялось деление часа на 60 минут, а минут – на 60 секунд? Из рассмотренной выше шестидесятеричной системы чисел. Взгляните, как обозначали числа древние вавилоняне, и в клиновидных значках увидите сакральный смысл современного, привычного для всех счисления.

История цифр разных народов

Цифры древней Греции

Под плеядой легендарных античных математиков и философов сформировалось две системы счисления. Каждая из них приносила свои преимущества, но они не были открыты или доработаны в связи с политико-культурными переменами.

Аттическую систему можно было бы назвать десятичной, если бы в ней не была выделена цифра 5. Аттическая запись чисел использовала повторы коллективных символов, что напоминало месопотамский метод. Единицу обозначала черта, написанная нужное количество раз. Таким образом записывались числа до 4. Цифра 5 была под первой буквой слова «пента», 10 – под первой буквой слова «дека» («десять») и т.д.

История чисел и цифр:

Алфавитная (или ионическая) система достигла своего расцвета в преддверии Александрийской эпохи. По сути, объединила десятеричную систему счисления и древневавилонский способ позиционности. Цифры записывались буквами и черточками. Система счисления довольно перспективна, но греки с их фанатичным стремлением к совершенству так и не довели ее до ума. Пытаясь достигнуть максимальной строгости и четкости в числовых записях, математики внесли существенные трудности в работу с ней.

Цифры древнего Китая

Система сложных, абстрактных иероглифов, в которую превратились невинные зарубки на гадальных костях, мало где применяется. Впрочем, иероглифы используются для формальных записей, а упрощенный набор символов применяется в повседневной жизни.

Числа в древней Руси

Как ни странно, Русь повторила алфавитную систему счисления. Каждая цифра была названа соответствующей ее рангу буквой алфавита. Цифра 1 выглядела как «А», 2 – «Б», 3 – «В» и т.д. Десятки и сотни также были подписаны соответствующими буквами славянского алфавита. Чтобы не путать в тексте слова с цифрами, над числовыми записями рисовали титло – горизонтальную волнистую линию.

числа и цифры Древней Руси

Древнеиндийские цифры

Сколько бы ни спорили ученые, сколько бы изменений ни претерпевала форма цифр, но возникновение арабских, «наших» цифр приписывают древней Индии. Возможно, арабы позаимствовали древнеиндийскую систему счисления или изобрели ее сами. Причиной научных мытарств стал фундаментальный математический труд Аль-Хорезми «Об индийском счете». Книга стала своеобразной «рекламой» десятичной позиционной системы. Иначе как объяснить внедрение индийской системы счисления на территории всего Халифата?

Полноценность позиционной системы укрепилась возникновением «нуля». В целом запись чисел не ушла далеко от аттической: для цифр 5, 10, 20… использовались коллективные символы, повторяющиеся нужное количество раз.

При таком подходе из древнеиндийских цифр не могли «вырасти» арабские. Это утверждение кажется логичным на первый взгляд, но история цифр загадочна, и демонстрирует непричастность древней Индии к возникновению знакомых нам символов.

Самые распространенные системы счисления

Арабские цифры значительно экономили время и материалы для письма. Один арабский ученый предложил обозначать цифру символом с определенным количеством углов. Количество углов должно равняться значению цифры. Например, «0» — «ничто», углов нет; 1 – 1 угол; 2 – 2 угла и т.д. Слово «цифра» также позаимствовано из арабских языков, где оно звучало как «сыфр», и обозначало «ничто», «пустота». У «сыфр» был синоним – «шунья». На протяжении веков «0» называли именно так. До тех пор, пока не появилось латинское «нуллум» («ничто»), как мы и называем «ноль».

Современный вариант символьного обозначения цифр выражен плавными, округлыми линиями. Это результат эволюции. В первозданном виде обозначения угловаты. Время действительно способно сглаживать углы – в прямом и переносном значениях. Неважно, откуда берет истоки история возникновения чисел, главное, они стали достоянием всего мира. Цифры легко пишутся и запоминаются, что облегчает и смысловое восприятие. Ведь перед вами не длинная вереница закорючек и букв.

Несмотря на то, что латынь называют «мертвым» языком, ее значимость в научной сфере подтверждена изучением в ВУЗах. Латинские цифры также нашли применение в документоведении, деловодстве, оформлении научных работ. Доступность, понятность и четкость сделали их завсегдатаями учебников и рефератов.

Мало кто задумывается о том, что приемы и формулы, которые мы используем для вычисления простых или сложных чисел, формировались на протяжении многих веков, причем в различных уголках планеты. Современные математические навыки, с которыми знаком даже первоклассник, ранее были непосильными для умнейших людей. Огромный вклад в развитие этой отрасли внесла египетская некоторые элементы которой мы до сих пор используем в первозданном виде.

Краткое определение

Историкам достоверное известно, что в любой древней цивилизации главным образом развивалась письменность, а числовые значения всегда стояли на втором месте. По этой причине в математике былых тысячелетий множество неточностей, и современные эксперты порой ломают голову в подобных ребусах. Не была исключением и египетская система счисления, которая, к слову, являлась еще и непозиционной. Это означает, что положение отдельной цифры в записи числа не меняет общую величину. В качестве примера можно рассмотреть значение 15, где 1 - на первом месте, а 5 - на втором. Если мы поменяем эти цифры местами, получим гораздо большее число. А вот древнеегипетская система счисления таких перемен не предполагала. Даже в самом многозначном числе все его составляющие записывались в произвольном порядке.

Сразу отметим, что современные жители этой жаркой страны пользуются такими же арабскими цифрами, как и мы, записывая их в строгом соответствии с нужным порядком и слева направо.

Какими же были знаки?

Для записи цифр египтяне использовали иероглифы, и при этом их было не так уж и много. Дублируя их по определенному правилу, можно было получить число любой величины, правда, для этого потребовалось бы большое количество папируса. На начальном этапе существования египетская иероглифическая система счисления содержала в себе цифры 1, 10, 100, 1000 и 10000. Позже появились более значимые 10. Если нужно было записать один из вышеперечисленных показателей, использовали такие иероглифы:

Чтобы записать число, не кратное десятке, применялась данная нехитрая техника:

Расшифровка чисел

В результате примера, приведенного выше, мы видим, что на первом месте у нас обозначены 6 сотен, за ними следует два десятка и в конце две единицы. Аналогично записываются любые другие числа, для которых могут быть использованы тысячи и десятки тысяч. Однако этот пример записан слева направо, дабы современный читатель смог правильно его понять, только вот на деле египетская система счисления не являлась столь точной. Такое же значение можно было бы записать справа налево, разобраться в том, где начало, а где конец, приходилось, опираясь на рисунок с наибольшим значением. Аналогичный ориентир потребуется и в том случае, если цифры в записаны вразброс (так как система непозиционная).

Дроби также важны

Египтяне раньше многих других освоили математику. По данной причине в какой-то момент одних только цифр им стало мало, и постепенно были введены дроби. Так как древнеегипетская система счисления считается иероглифической, для записи числителей и знаменателей также использовались символы. Для ½ существовал специальный и неизменный знак, а все остальные показатели формировались таким же путем, который использовался для больших чисел. В числителе всегда фигурировал символ, имитирующий форму человеческого глаза, а в знаменателе указывали уже число.

Математические операции

Если есть цифры, их складывают и вычитают, умножают и делят. Египетская система счисления справлялась с такой задачей на отлично, хотя тут была своя специфика. Проще всего производилось складывание и вычитание. Для этого иероглифы двух чисел записывались в ряд, между ними учитывалась смена разрядов. Сложнее понять, как они умножали, так как процесс этот мало похож на современный. Составляли два столбца, один из них начинался с единицы, а другой - со второго множителя. Потом начинали удваивать каждое из этих чисел, записывая новый результат под предыдущим. Когда из отдельных чисел первого столбца удавалось собрать недостающий множитель, подводились итоги. Точнее понять этот процесс можно, взглянув на таблицу. В данном случае 7 умножаем на 22:

Результат в первой колонке 8 уже превышает 7, поэтому удваивание заканчивается на 4. 1+2+4=7, а 22+44+88=154. Этот ответ верный, хотя получен столь нестандартным для нас путем.

Вычитание и деление производились в обратном сложению и умножению порядке.

Почему сформировалась египетская система счисления?

История возникновения иероглифов, заменяющих числа, так же туманна, как возникновение всей Египетской цивилизации. Ее рождение датируется второй половиной третьего тысячелетия до нашей эры. Принято полагать, что подобная точность в те времена была вынужденной мерой. Египет уже был полноценным государством и с каждым годом становился мощнее и обширнее. Проводилось строительство храмов, велись учеты в главных органах управления, и дабы объединить все это, власти приняли решение ввести данную систему счета. Просуществовала она достаточно долго - вплоть до Х века нашей эры, после чего на смену ей пришла иератика.

Египетская система счисления: достоинства и недостатки

Главное достижение древних египтян в математике - это простота и точность. Глядя на иероглиф, всегда можно было определить, сколько десятков, сотен или тысяч записано на папирусе. Достоинством считалась также система сложения и умножения чисел. Только на первый взгляд она кажется запутанной, но вникнув в суть, вы начнете быстро и просто решать такие задачки. Недостатком была признана большая путаница. Числа могли записываться не только в любом направлении, но и беспорядочно, поэтому требовалось больше времени на их расшифровку. И последний минус, пожалуй, заключается в невероятно длинной шеренге из символов, ведь их постоянно приходилось дублировать.

Зарождение математических знаний у древних египтян связано с развитием хозяйственных потребностей. Без математических навыков древнеегипетские писцы не могли бы обеспечивать проведение землемерных работ, рассчитывать количество рабочих и их содержание или производить раскладку налоговых отчислений. Так что появление математики можно приурочить к эпохе возникновения самых ранних государственных образований на территории Египта.

Египетские числовые обозначения

Десятичная система счета в Древнем Египте сложилась на основе использования для подсчета предметов количества пальцев на обеих руках. Числа от одного до девяти обозначались соответствующим количеством черточек, для десятков, сотен, тысяч и так далее существовали особые иероглифические знаки.

Вероятнее всего, цифровые египетские символы возникли как результат созвучия того или иного числительного и названия какого-либо предмета, ведь в эпоху становления письменности знаки-пиктограммы имели строго предметное значение. Так, например, сотни обозначались иероглифом, изображающим веревку, десятки тысяч - изображением пальца.

В эпоху (начало II тысячелетия до н. э.) появляется более упрощенная, удобная для письма на папирусе иератическая форма письменности, соответствующим образом меняется и написание цифровых знаков. Знаменитые математические папирусы написаны иератическим письмом. Иероглифика применялась в основном для настенных надписей.

Не менялась на протяжении тысяч лет. Позиционного способа записи чисел древние египтяне не знали, поскольку не подошли еще к понятию нуля не только как самостоятельной величины, но и просто как отсутствия количества в определенном разряде (этой начальной ступени достигла математика в Вавилоне).

Дроби в математике Древнего Египта

Египтяне имели понятие о дробях и умели производить некоторые операции с дробными числами. Египетские дроби представляют собой числа вида 1/n (так называемые аликвотные дроби), поскольку дробь представлялась египтянами как одна часть чего-либо. Исключением являются дроби 2/3 и 3/4. Неотъемлемым элементом записи дробного числа был иероглиф, переводимый обычно как «один из (некоторого количества)». Для наиболее употребительных дробей существовали особые знаки.

Дробь, числитель которой отличен от единицы, египетский писец понимал буквально, как несколько частей какого-либо числа, и буквально же записывал. Например, дважды подряд 1/5, если требовалось изобразить число 2/5. Так что египетская система дробей была весьма громоздка.

Интересно, что один из священных символов египтян - так называемое «око Хора» - также имеет математический смысл. Один из вариантов мифа о схватке между божеством ярости и разрушения Сетом и его племянником солнечным богом Хором гласит, что Сет выбил Хору левый глаз и разорвал или растоптал его. Боги восстановили глаз, но не полностью. Око Хора олицетворяло разные аспекты божественного порядка в мироустройстве, такие как идея плодородия или власть фараона.

Изображение ока, почитавшегося как амулет, содержит элементы, обозначающие особый ряд чисел. Это дроби, каждая из которых вдвое меньше предыдущей: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Символ божественного глаза, таким образом, представляет их сумму - 63/64. Некоторые историки-математики полагают, что в этом символе отражено понятие египтян о геометрической прогрессии. Составные части изображения ока Хора использовались в практических расчетах, например при измерении объема сыпучих веществ, таких как зерно.

Принципы арифметических действий

Метод, которым пользовались египтяне при выполнении простейших арифметических операций, состоял в подсчете итогового обозначающих разряды чисел. Единицы складывались с единицами, десятки с десятками и так далее, после чего производилась окончательная запись результата. Если при суммировании получалось более десяти знаков в каком-либо разряде, «лишний» десяток переходил в высший разряд и записывался соответствующим иероглифом. Вычитание производилось таким же способом.

Без применения таблицы умножения, которой египтяне не знали, процесс вычисления произведения двух чисел, особенно многозначных, был чрезвычайно громоздким. Как правило, египтяне пользовались методом последовательного удвоения. Один из множителей раскладывался на сумму чисел, которые мы сегодня назвали бы степенями двух. Для египтянина это означало количество последовательных удвоений второго множителя и итоговое суммирование результатов. Например, умножая 53 на 46, египетский писец разложил бы 46 на сумму 32 + 8 + 4 + 2 и составил бы табличку, которую вы можете видеть ниже.

* 1	53
* 2	106
* 4	212
* 8	424
* 16	848
* 32	1696

Суммируя результаты в отмеченных строках, он получил бы 2438 - столько же, сколько и мы сегодня, но иным способом. Интересно, что такой двоичный метод умножения применяется в наше время в вычислительной технике.

Иногда, помимо удвоения, число могли умножать на десять (поскольку использовалась десятичная система) или на пять, как на половину десятки. Вот еще один пример на умножение с записью египетскими символами (косой черточкой помечались складываемые результаты).

Операция деления производилась также по принципу удвоения делителя. Искомое число при умножении на делитель должно было дать указанное в условии задачи делимое.

Математические знания и навыки египтян

Известно, что египтяне знали возведение в степень, а также применяли обратную операцию - извлечение квадратного корня. Кроме того, они имели представление о прогрессии и решали задачи, сводящиеся к уравнениям. Правда, уравнения как таковые не составлялись, так как еще не сложилось понимание того, что математические отношения между величинами носят универсальный характер. Задачи группировались по тематике: размежевание земель, распределение продуктов и так далее.

В условиях задач присутствует неизвестная величина, которую требуется найти. Она обозначается иероглифом «множество», «куча» и является аналогом величины «икс» в современной алгебре. Условия часто излагаются в форме, которая, казалось бы, просто требует составления и решения простейшего алгебраического уравнения, например: «куча» складывается с 1/4, также содержащей «кучу», и получается 15. Но египтянин не решал уравнение x + x/4 = 15, а подбирал искомую величину, которая удовлетворяла бы условиям.

Значительных успехов математика Древнего Египта достигла в решении геометрических задач, связанных с потребностями строительства и землемерных работ. О круге задач, которые стояли перед писцами, и о способах их решения мы знаем благодаря тому, что сохранилось несколько письменных памятников на папирусе, содержащих примеры вычислений.

Древнеегипетский задачник

Один из наиболее полных источников по истории математики в Египте - так называемый математический папирус Ринда (по имени первого владельца). Он хранится в Британском музее в виде двух частей. Небольшие фрагменты также есть в музее Нью-Йоркского исторического общества. Его также называют папирусом Ахмеса - по имени писца, переписавшего этот документ около 1650 года до н. э.

Папирус представляет собой сборник задач с решениями. Всего он содержит более 80 математических примеров по арифметике и геометрии. Например, задача на равное распределение между 10 работниками 9 хлебов решалась так: 7 хлебов делятся на 3 части каждый, и работникам выдается по 2/3 хлеба, при этом в остатке имеем 1/3. Два хлеба делятся на 5 частей каждый, выдается по 1/5 на человека. Оставшуюся треть хлеба делят на 10 частей.

Есть задача и на неравное распределение 10 мер зерна между 10 людьми. В результате образуется арифметическая прогрессия с разностью 1/8 меры.

Задача на геометрическую прогрессию носит шуточный характер: в 7 домах живет по 7 кошек, каждая из которых съела по 7 мышей. Каждая мышь съела 7 колосков, каждый колос приносит 7 мер хлеба. Нужно вычислить общее количество домов, кошек, мышей, колосьев и хлебных мер. Оно составляет 19607.

Геометрические задачи

Немалый интерес представляют математические примеры, демонстрирующие уровень знаний египтян в области геометрии. Это нахождение объема куба, площади трапеции, вычисление наклона пирамиды. Наклон выражался не в градусах, а рассчитывался как отношение половины основания пирамиды к ее высоте. Эта величина, аналогичная современному котангенсу, называлась «секед». Основными единицами длины служили локоть, составлявший 45 см («царский локоть» - 52,5 см) и хет - 100 локтей, основная единица площади - сешат, равный 100 квадратным локтям (около 0,28 Га).

Египтяне успешно справлялись с вычислением площадей треугольников, применяя способ, аналогичный современному. Вот задача из папируса Ринда: чему равна площадь треугольника, имеющего высоту 10 хет (1000 локтей) и основание 4 хета? В качестве решения предлагается десять умножить на половину от четырех. Мы видим, что метод решения абсолютно верный, подается в конкретном численном виде, а не в формализованном - умножить высоту на половину основания.

Весьма интересна задача на вычисление площади круга. Согласно приведенному решению, она равна величине 8/9 диаметра, возведенной в квадрат. Если теперь из полученной площади вычислить число «пи» (как отношение учетверенной площади к квадрату диаметра), то оно составит около 3,16, то есть довольно близко к истинной величине «пи». Таким образом, египетский способ решения площади круга был достаточно точным.

Московский папирус

Еще один важный источник наших знаний об уровне математики у древних египтян - Московский математический папирус (он же папирус Голенищева), хранящийся в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина. Это тоже задачник с решениями. Он не так обширен, содержит 25 задач, но имеет более древний возраст - примерно на 200 лет старше папируса Ринда. Большинство примеров в папирусе - геометрические, в том числе задача на вычисление площади корзины (то есть криволинейной поверхности).

В одной из задач приведен способ нахождения объема усеченной пирамиды, совершенно аналогичный современной формуле. Но поскольку все решения в египетских задачниках имеют «рецептурный» характер и приводятся без промежуточных логических этапов, без всякого объяснения, остается неизвестным, каким образом египтяне нашли эту формулу.

Астрономия, математика и календарь

Древнеегипетская математика связана и с календарными вычислениями, основанными на повторяемости некоторых астрономических явлений. Прежде всего, это предсказание ежегодного подъема Нила. Египетские жрецы заметили, что начало разлива реки на широте Мемфиса обычно совпадает с днем, когда на юге перед восходом Солнца становится виден Сириус (большую часть года эта звезда на данной широте не наблюдается).

Первоначально простейший сельскохозяйственный календарь не был привязан к астрономическим событиям и основывался на простом наблюдении сезонных изменений. Затем он получил точную привязку к восходу Сириуса, а вместе с ней появилась возможность уточнения и дальнейшего усложнения. Без математических навыков жрецы не могли бы уточнять календарь (впрочем, окончательно устранить недостатки календаря египтянам так и не удалось).

Не менее важным было умение выбрать благоприятные моменты для проведения тех или иных религиозных празднеств, также приуроченных к различным астрономическим феноменам. Так что развитие математики и астрономии в Древнем Египте, безусловно, связано с ведением календарных расчетов.

Кроме того, математические знания требуются для хронометрии при наблюдении звездного неба. Известно, что такими наблюдениями занималась особая группа жрецов - «распорядители часов».

Неотъемлемая часть ранней истории науки

При рассмотрении особенностей и уровня развития математики в Древнем Египте видна существенная незрелость, так и не преодоленная за три тысячи лет существования древнеегипетской цивилизации. До нас не дошли сколько-нибудь информативные источники эпохи становления математики, и мы не знаем, как оно происходило. Но ясно, что после некоторого развития уровень знаний и навыков застыл в «рецептурной», предметной форме без признаков прогресса на многие сотни лет.

По-видимому, устойчивый и однообразный круг вопросов, решаемых при помощи уже сложившихся методов, не создавал «спроса» на новые идеи в математике, которая и так справлялась с решением задач строительства, сельского хозяйства, налогообложения и распределения, примитивной торговли и обслуживания календаря и ранней астрономии. Кроме того, архаическое мышление не требует формирования строгой логической, доказательной базы - оно следует рецептуре как ритуалу, и это также сказалось на застойном характере древнеегипетской математики.

Вместе с тем необходимо заметить, что научное знание вообще и математика в частности делали еще первые шаги, а они всегда самые трудные. В примерах, которые демонстрируют нам папирусы с задачами, уже видны начальные ступени обобщения знаний - пока без попыток формализации. Можно сказать, что математика Древнего Египта в том виде, как мы ее знаем (из-за недостаточности источниковой базы по позднему периоду древнеегипетской истории) - это еще не наука в современном понимании, но самое начало пути к ней.